Das Buch bietet eine praxisorientierte Einführung in die mathematischen Methoden der Elektrotechnik. Der Schwerpunkt liegt auf der Lösung von gewöhnlichen und partiellen Differenzialgleichungen mittels analytischer und numerischer Methoden. Dabei werden die analytischen Methoden den numerischen gegenübergestellt. Die Differenzialgleichungen wurden mit Blick auf die Problemstellungen der Elektrotechnik gewählt. Gezeigt wird, wie diese beispielsweise auch auf die Mechanik übertragen werden können. Zahlreiche Beispiele und Aufgaben mit ausgearbeiteten Lösungen erleichtern den Transfer des Wissens in die Anwendungen.
Autorentext
Als Entwicklungsingenieur bei Fa. Robert Bosch GmbH in Stuttgart war der Autor in einer Simulationsgruppe mit Simulationen mechatronischer Systeme beschäftigt. Einem Wechsel in die Forschungsabteilung folgte eine Industriepromotion. 2007 kam die Berufung zum Professor an den Studiengang Elektrotechnik der Reinhold-Würth Hochschule, Campus Künzelsau.
Inhalt
1 Erforderliche mathematische Grundlagen 1 1.1 Matrizen 1 1.1.1 Rechenoperationen mit Matrizen 2 1.1.2 Addition und Subtraktion zweier Matrizen 2 1.1.3 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar 2 1.1.4 Quadratische Matrix 3 1.1.5 Einheitsmatrix 3 1.1.6 Determinante 3 1.1.7 Unterdeterminante oder Minor 5 1.1.8 Adjunkte oder algebraisches Komplement 5 1.1.9 Inverse Matrix 6 1.1.10 Transponierte einer Matrix 7 1.1.11 Komplex konjugierte Matrix 7 1.1.12 Hermitesche konjugierte Matrix 8 1.1.13 Hermitesche Matrix selbstadjungierte Matrix 9 1.1.14 Orthogonalmatrix 9 1.1.15 Unit¨ are Matrix 10 1.1.16 Normalmatrix Normale Matrix 11 1.1.17 Norm einer Matrix 11 1.1.18 Konditionierte Matrizengleichung und Konditionszahl 12 1.1.19 Eigenwert, Eigenvektor 13 1.1.20 Quadratische Matrizen eine Zusammenfassung 15 1.2 Integral-, Di erenzialgleichungen 17 1.2.1 Definitionen 17 1.2.2 Di erenzierung skalarer Funktionen 18 1.2.3 Gewöhnliche Di erenzialgleichungen höherer Ordnung 18 1.2.4 Partielle Di erenzialgleichungen 20 1.2.5 Partielle Integration 22 1.2.6 Klassifikation von Di erenzialgleichungen 22 1.2.7 Anfangswertaufgabe 23 1.2.8 Randwertaufgabe 24 1.2.9 Lineare Operatoren 25 1.2.10 Inneres Produkt 27 1.2.11 Starke Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung 30 1.2.12 Schwache Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung 30 1.3 Vektor-Klassifikation 31 1.4 Di erenziationsregeln für Vektoren 31 1.5 Vektoroperatoren 32 1.5.1 Nabla-und Laplace-Operator 32 1.5.2 Vektoroperator Gradient 33 1.5.3 Vektoroperator Divergenz 34 1.5.4 Vektoroperator Rotation 35 1.5.5 Gegenüberstellung der Vektoroperatoren 35 1.5.6 Rechenregeln f¨ ur den Nabla-Operator 36 1.5.7 Gegenüberstellung Skalar- und Vektorprodukt 37 1.6 Maxwell'sche Gleichungen 38 1.6.1 Beziehung zwischen Kreis- und Flächenintegral 38 1.6.2 Beziehung zwischen Flächen- und Volumenintegral 39 1.6.3 Maxwell'sche Gleichungen Di erenzialform 40 1.6.4 Maxwell'sche Gleichungen Integralform 40 1.6.5 Richtungszuordnung beteiligter Vektorfelder 40 1.7 Dirac'sche Deltafunktion 41 2 Koordinatensysteme 43 2.1 Kartesisches Koordinatensystem 43 2.2 Zylinderkoordinatensystem 45 2.3 Kugelkoordinatensystem 47 3 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis 51 3.1 Schwingkreise, Impedanzen und Resonanzen 51 3.2 Eigenfrequenz Fehlerrechnung 55 3.3 Spannungsverläufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation 56 3.3.1 Spannungsverlauf über der Induktivität 57 3.3.2 Spannungsverlauf über Induktivität und Widerstand 59 3.3.3 Spannungsverlauf über dem Widerstand 61 3.3.4 Spannungsverlauf +ber der Kapazität 62 3.4 Gedämpfter, erzwungener LCR-Reihenschwingkreis 64 3.5 Gedämpfter, freier LCR-Reihenschwingkreis 67 3.6 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis 69 3.7 Gedämpfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis 70 3.8 Gedämpfter, freier LCR-Parallelschwingkreis 76 3.9 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis 79 4 Stromverdrängung im Leiter 81 4.1 Stromverdrängung im Leiter Modellbildung 82 4.2 Stromverdrängung im Leiter Berechnungsergebnis 86 4.3 Stromverdrängung im Leiter Simulationsergebnis 87 4.4 Stromverdrängung im Leiter Zusammenfassung 89 5 Besselgleichung und Besselfunktion 91 5.1 Zur Person Wilhelm Friedrich Bessel 92 5.2 Besselgleichung des LCR-Parallelschwingkreises 93 5.3 Besselgleichung der Felddi usionsgleichung 94 5.4 Besselfunktion zur Berechnung der Feldverteilung in einem Kondensator 97 5.4.1 Modellanordnung 97 5.4.2 Herleitung der Besselfunktion 98 5.5 Besselfunktion zur Berechnung der Flussdichteverteilung in einer Spule 101 5.5.1 Modellanordnung 101 5.5.2 Herleitung der Besselfunktion 101 5.6 Besselfunktion aus allgemeiner Form der Besselgleichung 104 6 Lösung von Di erenzialgleichungen mittels Green'scher Funktionen 109 6.1 Zur Person George Green 109 6.2 Green'sche Integralsätze 112 6.3 PDE Auf-, Integrationspunktanordnungen 114 6.4 PDE Vorbereitung zur Lösung nach Green Di erenzialform 116 6.5 PDE Vorbereitung zur Lösung nach Green Integralform 118 6.5.1 Umstellen der PDE nach der zu lösenden Variable 118 6.5.2 Homogene Randbedingungen 120 6.5.3 Inhomogene Randbedingungen 121 6.5.4 Dirichlet-Randbedingungen 121 6.5.5 Neumann-Randbedingungen 121 6.6 PDE Lösung der Poisson'schen DGL 122 6.6.1 Aufgabenbeschreibung 122 6.6.2 Lösungsweg 123 6.7 PDE Lösung der Laplace'schen DGL 125 6.7.1 Aufgabenbeschreibung 125 6.7.2 Lösungsweg 126 6.8 ODE Vorbereitung zur Lösung mit der Green'schen Funktion 128 6.8.1 Homogene Randbedingungen 130 6.8.2 Inhomogene Randbedingungen 130 6.8.3 Kontinuitäts- und Diskontinuitätsbedingungen 131 6.9 ODE Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 133 6.9.1 Aufgabenbeschreibung 133 6.9.2 Lösungsweg I 134 6.9.3 Lösungsweg II 137 6.10 ODE Lösung von d2 y/dx2 + y = cosec x 140 6.10.1 Aufgabenbeschreibung 140 6.10.2 Lösungsweg 140 6.11 ODE Lösung von d2 y/dx2 + y = f(x) 142 6.11.1 Aufgabenbeschreibung 142 6.11.2 Lösungsweg 142 6.12 ODE Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 144 6.12.1 Aufgabenbeschreibung 144 6.12.2 Lösungsweg 145 6.13 ODE Lösung von d2 u/dx2 = x 148 6.13.1 Aufgabenbeschreibung 148 6.13.2 Lösungsweg 148 7 Di erenzialgleichungen und Finite Elemente 153 7.1 Beispiele aus der Physik für Di erenzialgleichungen 1'ter Ordnung 153 7.2 Beispiele aus der Physik für Di erenzialgleichungen 2'ter Ordnung 154 7.3 Finite Elemente 158 8 Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode 161 8.1 Grundprinzip der Momentenmethode (MOM) 161 8.2 Anmerkungen zur Momentenmethode 163 8.2.1 Matrix (ljk) 163 8.2.2 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktionen n und wk 164 8.3 Zur Person Boris Galerkin 164 8.4 Galerkins Idee 165 9 Traditionelle Galerkin-Methode 167 10 Galerkin-Methode Lösung von du/dx = u 169 10.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 169 10.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 170 10.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 171 10.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 171 11 Galerkin-Methode Lösung von d2 u/dx2 = 4x2 + 1 175 11.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 175 11.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 176 11.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 176 11.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 178 12 Galerkin-Methode Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 181 12.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 182 12.2 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 182 12.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 183 12.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 183 13 Galerkin-Methode Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 185 13.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 185 13.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 186 13.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 187 13.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 188 14 Galerkin-Methode Durchflutungsgesetz 191 14.1 Galerkin-Methode Durchflutungsgesetz Innenbereich des Leiters 193 14.1.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 193 14.1.2 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 194 14.1.3 Lösung des linearen Gleichungssys…
Autorentext
Als Entwicklungsingenieur bei Fa. Robert Bosch GmbH in Stuttgart war der Autor in einer Simulationsgruppe mit Simulationen mechatronischer Systeme beschäftigt. Einem Wechsel in die Forschungsabteilung folgte eine Industriepromotion. 2007 kam die Berufung zum Professor an den Studiengang Elektrotechnik der Reinhold-Würth Hochschule, Campus Künzelsau.
Inhalt
1 Erforderliche mathematische Grundlagen 1 1.1 Matrizen 1 1.1.1 Rechenoperationen mit Matrizen 2 1.1.2 Addition und Subtraktion zweier Matrizen 2 1.1.3 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar 2 1.1.4 Quadratische Matrix 3 1.1.5 Einheitsmatrix 3 1.1.6 Determinante 3 1.1.7 Unterdeterminante oder Minor 5 1.1.8 Adjunkte oder algebraisches Komplement 5 1.1.9 Inverse Matrix 6 1.1.10 Transponierte einer Matrix 7 1.1.11 Komplex konjugierte Matrix 7 1.1.12 Hermitesche konjugierte Matrix 8 1.1.13 Hermitesche Matrix selbstadjungierte Matrix 9 1.1.14 Orthogonalmatrix 9 1.1.15 Unit¨ are Matrix 10 1.1.16 Normalmatrix Normale Matrix 11 1.1.17 Norm einer Matrix 11 1.1.18 Konditionierte Matrizengleichung und Konditionszahl 12 1.1.19 Eigenwert, Eigenvektor 13 1.1.20 Quadratische Matrizen eine Zusammenfassung 15 1.2 Integral-, Di erenzialgleichungen 17 1.2.1 Definitionen 17 1.2.2 Di erenzierung skalarer Funktionen 18 1.2.3 Gewöhnliche Di erenzialgleichungen höherer Ordnung 18 1.2.4 Partielle Di erenzialgleichungen 20 1.2.5 Partielle Integration 22 1.2.6 Klassifikation von Di erenzialgleichungen 22 1.2.7 Anfangswertaufgabe 23 1.2.8 Randwertaufgabe 24 1.2.9 Lineare Operatoren 25 1.2.10 Inneres Produkt 27 1.2.11 Starke Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung 30 1.2.12 Schwache Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung 30 1.3 Vektor-Klassifikation 31 1.4 Di erenziationsregeln für Vektoren 31 1.5 Vektoroperatoren 32 1.5.1 Nabla-und Laplace-Operator 32 1.5.2 Vektoroperator Gradient 33 1.5.3 Vektoroperator Divergenz 34 1.5.4 Vektoroperator Rotation 35 1.5.5 Gegenüberstellung der Vektoroperatoren 35 1.5.6 Rechenregeln f¨ ur den Nabla-Operator 36 1.5.7 Gegenüberstellung Skalar- und Vektorprodukt 37 1.6 Maxwell'sche Gleichungen 38 1.6.1 Beziehung zwischen Kreis- und Flächenintegral 38 1.6.2 Beziehung zwischen Flächen- und Volumenintegral 39 1.6.3 Maxwell'sche Gleichungen Di erenzialform 40 1.6.4 Maxwell'sche Gleichungen Integralform 40 1.6.5 Richtungszuordnung beteiligter Vektorfelder 40 1.7 Dirac'sche Deltafunktion 41 2 Koordinatensysteme 43 2.1 Kartesisches Koordinatensystem 43 2.2 Zylinderkoordinatensystem 45 2.3 Kugelkoordinatensystem 47 3 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis 51 3.1 Schwingkreise, Impedanzen und Resonanzen 51 3.2 Eigenfrequenz Fehlerrechnung 55 3.3 Spannungsverläufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation 56 3.3.1 Spannungsverlauf über der Induktivität 57 3.3.2 Spannungsverlauf über Induktivität und Widerstand 59 3.3.3 Spannungsverlauf über dem Widerstand 61 3.3.4 Spannungsverlauf +ber der Kapazität 62 3.4 Gedämpfter, erzwungener LCR-Reihenschwingkreis 64 3.5 Gedämpfter, freier LCR-Reihenschwingkreis 67 3.6 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis 69 3.7 Gedämpfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis 70 3.8 Gedämpfter, freier LCR-Parallelschwingkreis 76 3.9 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis 79 4 Stromverdrängung im Leiter 81 4.1 Stromverdrängung im Leiter Modellbildung 82 4.2 Stromverdrängung im Leiter Berechnungsergebnis 86 4.3 Stromverdrängung im Leiter Simulationsergebnis 87 4.4 Stromverdrängung im Leiter Zusammenfassung 89 5 Besselgleichung und Besselfunktion 91 5.1 Zur Person Wilhelm Friedrich Bessel 92 5.2 Besselgleichung des LCR-Parallelschwingkreises 93 5.3 Besselgleichung der Felddi usionsgleichung 94 5.4 Besselfunktion zur Berechnung der Feldverteilung in einem Kondensator 97 5.4.1 Modellanordnung 97 5.4.2 Herleitung der Besselfunktion 98 5.5 Besselfunktion zur Berechnung der Flussdichteverteilung in einer Spule 101 5.5.1 Modellanordnung 101 5.5.2 Herleitung der Besselfunktion 101 5.6 Besselfunktion aus allgemeiner Form der Besselgleichung 104 6 Lösung von Di erenzialgleichungen mittels Green'scher Funktionen 109 6.1 Zur Person George Green 109 6.2 Green'sche Integralsätze 112 6.3 PDE Auf-, Integrationspunktanordnungen 114 6.4 PDE Vorbereitung zur Lösung nach Green Di erenzialform 116 6.5 PDE Vorbereitung zur Lösung nach Green Integralform 118 6.5.1 Umstellen der PDE nach der zu lösenden Variable 118 6.5.2 Homogene Randbedingungen 120 6.5.3 Inhomogene Randbedingungen 121 6.5.4 Dirichlet-Randbedingungen 121 6.5.5 Neumann-Randbedingungen 121 6.6 PDE Lösung der Poisson'schen DGL 122 6.6.1 Aufgabenbeschreibung 122 6.6.2 Lösungsweg 123 6.7 PDE Lösung der Laplace'schen DGL 125 6.7.1 Aufgabenbeschreibung 125 6.7.2 Lösungsweg 126 6.8 ODE Vorbereitung zur Lösung mit der Green'schen Funktion 128 6.8.1 Homogene Randbedingungen 130 6.8.2 Inhomogene Randbedingungen 130 6.8.3 Kontinuitäts- und Diskontinuitätsbedingungen 131 6.9 ODE Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 133 6.9.1 Aufgabenbeschreibung 133 6.9.2 Lösungsweg I 134 6.9.3 Lösungsweg II 137 6.10 ODE Lösung von d2 y/dx2 + y = cosec x 140 6.10.1 Aufgabenbeschreibung 140 6.10.2 Lösungsweg 140 6.11 ODE Lösung von d2 y/dx2 + y = f(x) 142 6.11.1 Aufgabenbeschreibung 142 6.11.2 Lösungsweg 142 6.12 ODE Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 144 6.12.1 Aufgabenbeschreibung 144 6.12.2 Lösungsweg 145 6.13 ODE Lösung von d2 u/dx2 = x 148 6.13.1 Aufgabenbeschreibung 148 6.13.2 Lösungsweg 148 7 Di erenzialgleichungen und Finite Elemente 153 7.1 Beispiele aus der Physik für Di erenzialgleichungen 1'ter Ordnung 153 7.2 Beispiele aus der Physik für Di erenzialgleichungen 2'ter Ordnung 154 7.3 Finite Elemente 158 8 Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode 161 8.1 Grundprinzip der Momentenmethode (MOM) 161 8.2 Anmerkungen zur Momentenmethode 163 8.2.1 Matrix (ljk) 163 8.2.2 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktionen n und wk 164 8.3 Zur Person Boris Galerkin 164 8.4 Galerkins Idee 165 9 Traditionelle Galerkin-Methode 167 10 Galerkin-Methode Lösung von du/dx = u 169 10.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 169 10.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 170 10.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 171 10.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 171 11 Galerkin-Methode Lösung von d2 u/dx2 = 4x2 + 1 175 11.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 175 11.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 176 11.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 176 11.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 178 12 Galerkin-Methode Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 181 12.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 182 12.2 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 182 12.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 183 12.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 183 13 Galerkin-Methode Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 185 13.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 185 13.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 186 13.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 187 13.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 188 14 Galerkin-Methode Durchflutungsgesetz 191 14.1 Galerkin-Methode Durchflutungsgesetz Innenbereich des Leiters 193 14.1.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 193 14.1.2 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 194 14.1.3 Lösung des linearen Gleichungssys…
Titel
Mathematische Methoden der Elektrotechnik
Autor
EAN
9783846357774
Format
E-Book (epub)
Hersteller
Veröffentlichung
18.10.2021
Digitaler Kopierschutz
Wasserzeichen
Anzahl Seiten
350
Auflage
1. Auflage
Lesemotiv
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