Tauchen Sie ein in die Welt der Algorithmen und erforschen Sie die Verbindung zwischen Programmierung und Mathematik . Dr. Veit Steinkamp löst mit Ihnen Aufgaben aus verschiedenen Bereichen und zeigt, wie Rechnungen in Code umgesetzt werden. Sie lernen die grundlegenden Programm- und Datenstrukturen Pythons kennen und erfahren, welche Module Ihnen viel Arbeit abnehmen. Rasch programmieren Sie Algorithmen zum Lösen von Gleichungssystemen nach, automatisieren Kurvendiskussionen und berechnen Integrale. Abstrakte Zusammenhänge werden so deutlich, und ganz nebenbei verbessern Sie Ihre Python-Fähigkeiten und programmieren geschickter und gekonnter.

• Mathematik verstehen & Programmieren trainieren
• Berechnungen modellieren, simulieren und verstehen
• Von der Numerik bis zur fraktalen Geometrie

Aus dem Inhalt:

• Python installieren und anwenden
• Daten- und Programmstrukturen
• Module: NumPy, SymPy, SciPy, Matplotlib
• Zahlen
• Gleichungssysteme
• Folgen und Reihen
• Funktionen
• Differenzial- und Integralrechnung
• Differenzialgleichungen
• Ausgleichsrechnungen
• Statistik
• Fraktale Geometrie

Materialien zum Buch ... 15

1. Einführung ... 17

1.1 ... Entwicklungsumgebungen ... 22

1.2 ... Die Installation der Module ... 25

1.3 ... Schlüsselwörter von Python ... 28

1.4 ... Maschinengenauigkeit, Rundungsfehler und Stellenauslöschung ... 30

1.5 ... Algorithmenbegriffe ... 34

1.6 ... Übungen ... 37

2. Datentypen und Datenstrukturen ... 41

2.1 ... Tupel ... 42

2.2 ... Set ... 49

2.3 ... Liste ... 54

2.4 ... Dictionary ... 60

2.5 ... Zusammenfassung ... 65

2.6 ... Aufgaben ... 66

3. Programmstrukturen ... 67

3.1 ... Mathematische Operatoren ... 68

3.2 ... Die lineare Programmstruktur ... 69

3.3 ... Verzweigungsstrukturen ... 72

3.4 ... Wiederholstrukturen ... 76

3.5 ... Operation auf Vektoren und Matrizen ... 89

3.6 ... Unterprogrammtechnik mit Funktionen ... 95

3.7 ... Einen Algorithmus optimieren ... 107

3.8 ... Objektorientierte Programmierung ... 113

3.9 ... Laufzeitanalyse ... 120

3.10 ... Aufgaben ... 127

4. Die Python-Erweiterungsmodule NumPy, Matplotlib, SymPy und SciPy ... 131

4.1 ... NumPy ... 132

4.2 ... Matplotlib ... 139

4.3 ... SymPy ... 151

4.4 ... SciPy ... 155

4.5 ... Aufgaben ... 158

5. Zahlen ... 161

5.1 ... Natürliche und ganze Zahlen ... 165

5.2 ... Rationale Zahlen ... 198

5.3 ... Irrationale Zahlen ... 202

5.4 ... Transzendente Zahlen ... 206

5.5 ... Aufgaben ... 218

6. Gleichungssysteme ... 219

6.1 ... Lineare Gleichungssysteme ... 219

6.2 ... Iterative Verfahren ... 250

6.3 ... Nichtlineare Gleichungssysteme ... 263

6.4 ... Aufgaben ... 266

7. Folgen ... 269

7.1 ... Divergente Folgen ... 269

7.2 ... Differenzfolgen ... 273

7.3 ... Konvergente Folgen ... 275

7.4 ... Rekursive Folgen ... 278

7.5 ... Geometrische Folgen ... 280

7.6 ... Der Grenzwert von Folgen ... 284

7.7 ... Aufgaben ... 288

8. Nullstellen berechnen ... 289

8.1 ... Bisektionsverfahren ... 290

8.2 ... Fixpunktverfahren ... 295

8.3 ... Newton-Verfahren ... 301

8.4 ... Vergleich der Verfahren ... 304

8.5 ... Numerische Berechnung mehrerer Nullstellen ... 306

8.6 ... Aufgaben ... 308

9. Numerische Differenziation ... 309

9.1 ... Simulation des Grenzwertprozesses ... 310

9.2 ... Tangentengleichung ... 313

9.3 ... Vorwärts-, Rückwärts- und zentraler Differenzenquotient ... 316

9.4 ... Optimale Schrittweite ... 323

9.5 ... Höhere Ableitungen ... 326

9.6 ... Kurvendiskussion ... 333

9.7 ... Aufgaben ... 348

10. Reihen ... 351

10.1 ... Divergierende Reihen ... 352

10.2 ... Konvergente Reihen ... 358

10.3 ... Geometrische Reihen ... 366

10.4 ... Potenzreihen und die Taylor-Entwicklung ... 371

10.5 ... Aufgaben ... 381

11. Numerische Integration ... 383

11.1 ... Das Problem der Flächenberechnung ... 383

11.2 ... Verfahren der Flächenberechnung ... 391

11.3 ... Bogenlängen ... 406

11.4 ... Rotationskörper ... 409

11.5 ... Zweifachintegrale ... 413

11.6 ... Aufgaben ... 421

12. Differenzialgleichungen ... 423

12.1 ... Das eulersche Polygonzugverfahren ... 424

12.2 ... Richtungsfelder ... 429

12.3 ... Differenzialgleichungen 1. Ordnung ... 431

12.4 ... Nichtlineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung ... 438

12.5 ... DGL-System für ein gekoppeltes Fadenpendel ... 443

12.6 ... DGL-System mit zwei Unbekannten ... 446

12.7 ... DGL-System mit drei Unbekannten ... 449

12.8 ... Optimierungen des Euler-Verfahrens ... 452

12.9 ... Lösung von Differenzialgleichungen mit SciPy ... 455

12.10 ... Lösen von Differenzialgleichungen mit Sympy ... 459

12.11 ... Aufgaben ... 462

13. Ausgleichsrechnungen ... 463

13.1 ... Lineare Ausgleichsprobleme ... 464

13.2 ... Nichtlineare Ausgleichsprobleme ... 483

13.3 ... Aufgaben ... 487

14. Algorithmen für die Berechnung statistischer Kennzahlen ... 489

14.1 ... Normalverteilte Zufallszahlen erzeugen ... 490

14.2 ... Lageparameter ... 494

14.3 ... Streuparameter ... 504

14.4 ... Strukturparameter ... 508

14.5 ... Aufgaben ... 514

15. Fraktale ... 517